El teorema de Jordan es uno de esos monstruos matemáticos que si bien tienen un enunciad simple de comprender y aceptar, resulta complicadísimo de demostrar. Inicialmente, Jordan, publicó una demostración. Pero contenía un error, así que hubo que esperar hasta que en 1992 J.W. Alexander consiguiera probarlo.

Además, precisamente por lo sencillo que es el enunciado, el teorema de Jordan resulta fundamental para una gran cantidad de teorías matemáticas. Está relacionado por ejemplo con la Teoría de Grafos. Y es vital en las ramas de Topología y Análisis Funcional

En concreto el teorema es el siguiente...

 
Toda curva cerrada simple del plano divide al plano en dos componentes conexas disjuntas que tienen a la curva como frontera común. Una de estas componentes está acotada (el interior de la curva) y la otra es no acotada y se le llama exterior.
 

 

La demostración, aunque es muy compleja se basa en una idea simple: si una curva de Jordan (o sea una curva cerrada y sin intersecciones) divide al plano en dos partes diferenciadas, debe haber algún modo de, dado un punto, decidir si está en el interior o el exterior de la curva.

La parte difícil (la de construir el método) se apoya en una propiedad de las curvas de Jordan que las emparenta con la Teoría de Grafos, y el problema de los puentes de Könisberg

 

Supongamos que tenemos un punto A que no sabemos si está en el interior o el exterior de una curva de Jordan.

Para decidirlo podemos elegir otro punto B que sepamos a ciencia cierta que está en el exterior de la curva. Y trazamos una semirrecta por A hasta B. Entonces, si la curva es de Jordan, sucede que:

  • Si el número de puntos de corte entre la semirrecta y la curva es PAR, es que el punto está en el exterior de la curva
  • si el número de puntos de corte entre la semirrecta y la curva es IMPAR, es que el punto está en el interior de la curva
 

Aplicándola sobre curvas sencillas, esta propiedad nos permitirá también determinar cuando una curva es de Jordan

Es decir, si dada una curva somos capaces de encontrar dos puntos A y B que no mantengan la propiedad anterior, entonces es que la curva no es de Jordan

En el siguiente ejercicio de Geogebra, os proponemos utilizar este último punto de vista, para decidir cuándo una curva es (o no) de Jordan.