Cube

 

Con motivo de las jornadas que nuestra sociedad organiza todos los años alrededor del día de escolar de las matemáticas me pidieron que contara una actividad que aunque alejada del día escolar merecía la pena contar.

 

Todo surgió a raíz del concurso de secundaria que organiza el Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid, que básicamente consiste en realizar una investigación original sobre cualquier tema relacionado con las matemáticas.

 

A Belén, mi compañera en esta experiencia, y a mí se nos ocurrió que podíamos tratar con los alumnos la veracidad matemática del argumento de la película “cube”. Y esta fue la idea que propusimos a los alumnos, en este caso de cuarto de la ESO opción B. De esta forma, los alumnos estudiaron la posibilidad de existencia del cubo, eje central de la película, con las propiedades que los protagonistas van descubriendo a lo largo de la película.

 

 

Sinopsis

 

Seis personas, desconocidas entre si, despiertan un día y se encuentran atrapadas en una prisión extraña y surrealista, en un laberinto sin fin de habitaciones cúbicas dotadas de trampas mortales.

Entre ellos hay un policía, un ladrón profesional, un prodigioso estudiante de matemáticas y un joven autista. Esta mezcla caprichosa de personalidades no está exenta de perversión. Ninguno de ellos sabe porqué o cómo ha llegado hasta allí, porqué está preso, pero enseguida surgirá la obsesión en este grupo por huir, por planificar una salida de tan horrible cárcel.

 

Interés matemático

 

El interés matemático de esta película salta a la vista incluso para los no iniciados, nosotros destacamos los siguientes:

 

Codificación

 

En una primera instancia y prácticamente a los pocos minutos de empezar la película aparecen los números primos como ejemplo de codificación de las habitaciones cúbicas.

 

Números primos

 

Afortunadamente uno de los personajes, Leaven es estudiante de matemáticas.

Leaven en el transcurso de habitación en habitación descubre que no son unos números cualquiera, que tienen un sentido y encierran más información de la que en un principio sospechan.

 

Geometría Tridimensional

 

En otra parte de la película se menciona explícitamente a Descartes, en particular, los ejes cartesianos.

 

Permutaciones

 

Este concepto también aparece en la película, pues descubrirán que los cubos se mueven y se mueven siguiendo una determinada permutación que sorprendentemente esta codificada en los números que hay en cada puerta.

 

Descomposición en factores primos.

 

He querido añadir este fragmento de la película arriesgándome a desvelar parte del misterio porque me parece muy interesante lo que plantea el director ó el asesor matemático de la película. En esta escena vemos aun personaje autista, Kazan, el cuál tiene una habilidad asombrosa para saber los factores primos de un número “grande”, es decir, tiene la virtud de saber a priori si un número es primo ó no.

A día de hoy no es tan fácil saber si un número es primo ó no, o al menos de saberlo en un periodo de tiempo razonable. Sin embargo Kazan puede.

 

Plan de trabajo

 

La primera tarea que realizamos fue visionar la película pues alguno de los alumnos que elegimos para realizar el trabajo no la conocían. Después planteamos la siguiente pregunta: ¿es posible la construcción de un cubo con esas características?

 

Su primera respuesta fue evidentemente !no¡, eso es muy difícil. Al fin y al cabo sólo eran estudiantes de cuarto de la ESO. Tras unos días de asimilación, conseguimos convencerlos.

Nuestra primera tarea como profesores fue elaborarles un plan de acción, descomponiendo el problemas en partes más fáciles.

 

El cubo de la película es un cubo gigantesco construido a base de pequeños cubitos, por así decirlo, es un cubo de Rubik gigante, donde cada habitación cúbica tiene 6 puertas, una por cada cara. Tratar de abordar el problema directamente con todos los cubos era una locura, así es que pensamos en empezar por el caso bidimensional. A su vez el lo dividimos en varias partes.

 

Los alumnos tenían una gran intuición, y sin decirles nada rápidamente elaboraron un modelo matemático de cuadriculas y coordenadas, nosotros simplemente nos dedicamos a indicarles la necesidad de formalizar eso que ellos hacían. Tuvimos que poner restricciones, pues aún así el problema seguía siendo demasiado complejo. Estas restricciones fueron que todos los cuadrados se movieran a la vez y a velocidad constante, que es el único caso tratado en este trabajo. De esta forma, abordamos.

Cuestiones relativas a distancias entre cuadrados.

Cuestiones relativas al tamaño del tablero.

Cuestiones relativas sobre el número de huecos.

 

Este estudio bidimensional les hizo tener una gran visión geométrica del problema. Estaban preparados para dar el salto a la tridimensionalidad. El modelo matemático que elaboraron para el caso tridimensional no se ajusta del todo a la película pues encontraron ciertos obstáculos que les ayudamos a resolver. Pero veamos que hicieron:

 

 

Cuestiones relativas a distancias entre cuadrados

 

¿Cómo debemos colocar los n cuadrados sobre el tablero para que después de dos movimientos, entiéndase movimiento como desplazamientos horizontales y verticales, de forma que el primero ocupe la posición que inicialmente ocupaba el segundo, el segundo la que ocupaba el tercero,... y el último la del primero?

 

Esta simple pregunta desencadenó muchas matemáticas que para ellos eran desconocidas. El primer obstáculo que tuvieron que sortear fue formular un modelo matemático en cual trabajar de forma cómoda, intuitivamente lo tenían, simplemente necesitaban formalizarlo: